यदि $\sum\limits_{n = 1}^5 {\frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}} = \frac{k}{3}} $ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

अनंत श्रेणी $\frac{1}{3 \times 7} + \frac{1}{7 \times 11} + \frac{1}{11 \times 15} + \dots$ का योग क्या है?

यदि श्रेणी $\frac{1}{1+1^4 \cdot 4} + \frac{2}{1+2^4 \cdot 4} + \frac{3}{1+3^4 \cdot 4} + \frac{4}{1+4^4 \cdot 4} + \dots$ के प्रथम $10$ पदों का योग $\frac{m}{n}$ है, जहाँ $\text{gcd}(m,n) = 1$, तो $m+n$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n(n + 1)} = \dots$

मान लीजिए $S_n = \frac{1}{1^3} + \frac{1 + 2}{1^3 + 2^3} + \frac{1 + 2 + 3}{1^3 + 2^3 + 3^3} + \dots + \frac{1 + 2 + \dots + n}{1^3 + 2^3 + \dots + n^3}$ है। यदि $100 S_n = n$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $n = 1, 2, 3, \ldots$ के लिए $t_n = \frac{1}{4}(n+2)(n+3)$ है, तो $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \ldots + \frac{1}{t_{2003}}$ का मान ज्ञात कीजिए।